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一、什么是和定极值问题

多个数的和一定，求其中某个数的极大值和极小值的问题。

二、题型特征

题干或者问法中出现最大或最小、最多或最小、至多或至少。

和定最值：多个数的和一定，求其中某个数的最大值或者最小值问题。

三、解题要点

求某个量的极大值，其余量尽可能小。

求某个量的极小值，其余量尽可能大。

方法：1，方程法：根据条件设列求解，出现小数，若求最小值，则往大取整;若求最大值，则往小取整。

2，中项法：根据等差数列求出中项值(平均值)，若各不相同，则按连续自然数分配。余数根据题意均分。

【例1】 21个苹果分给5个同学，若每个同学分得的苹果树各不相同，则分得苹果树最多的同学至少分了多少个苹果?

【答案】 7

【解析】 方程法：总共五个同学，共21个苹果，本题求的是最多的同学最少分到苹果的情况，也就是说求的是最小量，那么只要保持其余量尽可能大就可以了，但是由于各个同学获得的苹果树各不相同，故其余量尽量大的时候不能跟最多的同学相同，那么最理想情况就是第一名跟第二名差了一个苹果，第二名和第三名差了一个苹果，以此类推，故我们可以设第一名分到X，则其余为X-1、X-2、X-3、X-4。五个量相加为21，求得X=6.2，则说明最多的同学至少在6.2以上，故往大取整为7个。

中项法：中项法，则通过求出平均值，21÷5=4…1，那么中间则为4，因为各个量各不相同，则按连续自然数展开：6、5、4、3、2，由于还有余数1，则需要分配下去，由于我们要保持第一名是永远是第一，故如果把1给第二名则出现并列第一情况，不满意各不相同，故只能给6+1=7

【例2】 21个苹果分给5个同学，则分得苹果最多的同学至少分到几个苹果?

【答案】 5

【解析】 本题最大区别在于没有说明各不相同，故求最小量的原则在满足其余量尽可能大的前提下，可以保持相同，则大家可以并列相同，那么21÷5=4…1，则五个同学先均分4，余数1只能给第一名，故第一名为5。

若本题总数为22时，则为22÷5=4…2，则余数2可以均分成1 、1，均分给第一名和第二名，也就是说保持第一名和第二名并列第一的情况，故最多的同学分到苹果至少还是5个。

四、最多和都多区别

【例3】 21个苹果分给5个同学，其中A同学分得的苹果比其他同学都多，则A同学至少分到多少个苹果?

【答案】 5

【解析】 虽然问法不一样，但也是求最小量，那么解题原则也是保持其余量尽可能大。本题也是无各不相同说明，故各个量可以相同，那么这里“都多”与“最多”的区别在于，“最多”第一名是可以和其余并列，而“都多”则不能与其余量并列，但其余量是可以相同的，故21÷5=4…1，故A同学分到至少为5个。若有22个苹果，则为22÷5=4…2，则A同学分到的苹果应该为6个，保持第一且没有并列。

通过以上例题示例，相信大家对于和定最值问题有了一个基本认识，这类题型并不难，重在对于解题原则的理解。在此建议各位考生，平时在解题时多观察题型特点，多注重对方法的理解，在考试时方能做到解题。预祝大家考试顺利。

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